মান নির্ণয়

প্রদত্ত ভগ্নাংশের মান নির্ণয় করঃ 

(x^2-9)/(x-3) যেখানে x=3

অনলাইনে যে জিনিসটা আমার অত্যধিক অপছন্দ সেটা হল শুধু শুধু তর্ক করা আর অহেতুক রূঢ় ভাষায় কথা বলা। সবজিনিস আমি জানব বা অমুকে জানবে এমন নয়। আমার থেকেও জ্ঞানী লোক থাকতে পারে। অবশ্য কারো মাথায় যখন "বিচার মানি, তবে তালগাছে আমার" ঢুকে যায় তাহলে তাকে আর কে শোধরাতে পারে? 

এখন কাজের কথায় আসি। প্রদত্ত রাশিটিতে যদি আমরা মান বসাই তবে কি পাই?

প্রথম পদ্ধতিঃ

x2-9/x-3

= (3)2-9/3-3

= 9-9/0

= 0/0

নিচে যেহেতু 0 আছে সেহেতু উপরে যাই থাকুক তার মান হবে অসংগায়িত বা অনির্ণেয়। কোন কিছুকে 0 দিয়ে ভাগ করলে কি হবে সেটা এখন পর্যন্ত বিজ্ঞানীরা বের করতে পারেননি। ভবিষ্যতে হয়ত পারবেন। এই প্রসঙ্গে ঢাবিতে গনিত পড়ুয়া আমার এক বন্ধু বলতেছিল যে, একসময় পাইয়ের মান ধরা হত ২২/৭; যা একটি মূলদ সংখ্যা। কিন্তু পরবর্তীতে সূক্ষ হিসেবের মাধ্যমে পাইয়ের মান ৩.১৪১৫....... পাওয়া যায়। যা একটি অমূলদ সংখ্যা। মূলদ, অমূলদ সংখ্যার ধারনা এই পোস্টের পাঠকদের আছে বলে ধরে নিচ্ছি। 

উপরোক্ত মান নির্ণয়ের অংকটি আবার করি। এবার একটু অন্যভাবে। 

দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ

x2-9/x-3

=(x+3)(x-3)/x-3 

= x+3 [উপরে নিচে কাটাকাটি করে]

=3+3 [মান বসিয়ে]

=6

আগেরটাতে মান পেয়েছিলাম অসংজ্ঞায়িত আর এখন পেলাম ৬. মান পরিবর্তন হয়ে গিয়েছে! 

মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আমাদের একটা বিষয় মনে রাখা দরকার যে, আমরা যেকোনভাবেই মান বের করি না কেন সবক্ষেত্রেই ফলাফল একই হবে। যদি এক না হয় তবে বুঝতে হবে যে কোন পদ্ধতিগত ভুল হয়েছে। ছোট্ট একটা উদাহরন দেই।

a=1, b=1 হলে (a+b)2 এর মান কত? 

প্রথমে মান সরাসরি বসাই,

(1+1)2 = (2)2 = 4 

এই অংকে যেভাবেই মান বসাই না কেন ফল হবে 4। পরীক্ষা করা যাক

(a+b)2 = (a+b) (a+b) = (1+1) (1+1) = 2*2 = 4

আবার, (a+b)2 = a2+2ab+b2 = (1)2+ 2.1.1 + (1)2 = 1+2+1 = 4 

সুতরাং ফল যদি পরিবর্তন হয়ে যায় তাহলে বুঝতে হবে অংক করায় কোন পদ্ধতিগত ভুল আছে। 

এখন আমি যে অংকটা করলাম তার মধ্যে কোনটা সঠিক? কোনটা ভুল? 

এতক্ষনে হয়ত দু'একজন বুঝে ফেলেছেন ভুল হয়েছে কোনটা। জ্বী, দ্বিতীয় পদ্ধতিটি ভুল। কিভাবে? 

আপনারাতো দেখলেনই আমি কাটাকাটি করলাম। গনিতে কাটাকাটি বলে কিছু নেই। আছে ভাগ। এখানে হর ও লবকে x-3 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে। এবং ভাগফল হিসেবে 1 হিসেব করা হয়েছে।[অন্যভাবে বললে লবকে হর দ্বারা ভাগ করা হয়েছে এবং ভাগফল হিসেবে x+3 লেখা হয়েছে] ভুলটা এখানেই। কারন,

ভগ্নাংশের হর হল x-3. একে যদি আমরা x-3 দিয়ে ভাগ করি তাহলে 1 হবার কথা। এখন দেখা যাক আমরা x-3 কে x-3 দ্বারা ভাগ করতে পারি কিনা। 

x=3 হলে x-3 = 3-3 =0 অর্থাৎ আমরা x-3 কে 0 দ্বারা ভাগ করেছি। অন্যকথায় 0 কে 0 দ্বারা ভাগ করেছি। এবং ভাগফল 1 নিয়েছি যা গ্রহনযোগ্য নয়। ভাগফল হবে অসংজ্ঞায়িত। এই অসংজ্ঞায়িত ভাগফলের সাথে লবের অপর অংশ x+3 যদি গুন করি তবে সে গুনফলও হবে অসংজ্ঞায়িত!

কাজেই দ্বিতীয় পদ্ধতির মাধ্যমেও প্রাপ্ত ফল অসংজ্ঞায়িতই হল। 

কাজেই প্রদত্ত রাশির যদি আমরা বাস্তব মান চাই তবে x এর মান 3 হতে পারে না। x এর অন্য যেকোন বাস্তব মানের জন্য এই রাশির বাস্তব মান পাওয়া যাবে। 

আশা করি বোঝাতে পেরেছি। এই পোস্টের কোন ভুল থাকলে শুধরে দিবেন প্লীজ। 

কৃতজ্ঞতায়ঃ মুহাম্মাদ মামূন ভূইয়া, ঢাবি